Wybór pozycji do badania (cz. II) – metody próbkowania

Próbkowanie według atrybutów – metoda stałej próbki

Próbkowanie według atrybutów umożliwia określenie częstotliwości występowania nieprawidłowości w badanym zbiorze. Każde odstępstwo (odchylenie) ma taką samą wagę bez względu na wartość pieniężną transakcji, przy której powstało. Nic więc dziwnego, że jest ono szczególnie przydatne przy badaniach skuteczności kontroli, umożliwia bowiem oszacowanie wskaźnika odchyleń, jakie nastąpiły w badanym okresie, od wzorca procedury kontrolnej.

Jedną z najczęściej stosowanych odmian próbkowania według atrybutów jest metoda stałej próbki. Jak wskazuje nazwa, jej cechą charakterystyczną jest to, że raz ustalona wielkość próbki nie ulega zmianie, bez względu na liczbę ujawnionych w niej odchyleń. Metoda ta wymaga wybrania i zbadania próbki oraz oszacowania na tej podstawie przedziału (najczęściej jego górnej granicy), w jakim – z określonym poziomem pewności – znajdzie się wskaźnik odchyleń w całym zbiorze. W celu ustalenia podstawowych parametrów próbkowania można zastosować wzór:

gdzie:

n – wielkość próbki,

Wu – współczynnik ufności (pewności),

p – górna granica odchyleń (precyzja) jako wskaźnik.

Warto zwrócić uwagę na występujący we wzorze współczynnik ufności. W toku badania korzysta się zwykle z gotowych tablic takich współczynników. Są one również wykorzystywane w razie stosowania opisanej dalej metody MUS. Poniżej przedstawiono fragment takiej tablicy.

Aby wybrać właściwy współczynnik w przypadku próbkowania na potrzeby badań kontroli, należy określić wymagany poziom pewności wyników oraz oczekiwaną liczbę odchyleń w próbce. W praktyce ta druga zmienna przyjmowana jest na bardzo niskim poziomie (brak lub nie więcej niż dwa odchylenia). Wynika to z tego, że gdy biegły rewident spodziewa się już w próbce znaleźć wiele odchyleń, mało prawdopodobne jest uzyskanie dowodów, że procedury kontrolne stosowane do całego zbioru działały skutecznie. W takim przypadku właściwym podejściem jest rezygnacja z polegania na skuteczności kontroli i w zamian rozszerzenie zakresu testów szczegółowych oraz analitycznych procedur wiarygodności.

W celu zilustrowania omawianych zagadnień poniżej zamieszczono proste pytania wraz z odpowiedziami.

Pytanie 1

Jaka powinna być minimalna wielkość próbki przy oczekiwaniu 90% pewności wyników (ryzyko próbkowania = 10%), że górna granica odchyleń w zbiorze wynosi nie więcej niż 5% (0,05)[2], a spodziewana liczba odchyleń w próbce wynosi:

a) 0?

b) 1?

c) 4?

Odpowiedź

Przy zastosowaniu podanego wzoru i tabeli współczynników ufności minimalne wielkości próbek wyniosą:

Warto zwrócić uwagę, że zwiększenie o 1 oczekiwań co do liczby odchyleń w próbce sprawia, że wzrasta ona prawie 2-krotnie (z 47 do 78). Dodatkowo, póki precyzja jest wyrażona proporcją, a nie liczbą odchyleń, wielkość próbki będzie taka sama niezależnie od wielkości zbioru. Jeśli więc biegły rewident spodziewa się, że badany zbiór jest wystarczająco duży, aby celowe było stosowanie metod statystycznych (liczy co najmniej 1000 jednostek), to nie musi znać jego liczebności, by ustalić wielkość próbki[3].

Pytanie 2

Ile wyniesie górna osiągnięta granica odchyleń (precyzja) w zbiorze przy oczekiwaniu 95% pewności wyników (ryzyko próbkowania = 5%), jeżeli w próbce składającej się z 60 jednostek liczba odchyleń wyniesie:

a) 0?

b) 1?

c) 3?

Odpowiedź

Przy zastosowaniu wzoru i tabeli współczynników ufności górna granica odchyleń (precyzja) wyniesie:

Interpretacja wyników zależy od wcześniej przyjętych przez biegłego rewidenta założeń co do akceptowanej górnej granicy odchyleń. Gdy spodziewał się, że w próbce składającej się z 60 jednostek nie będzie odchyleń i był gotów uznać procedurę kontrolną za skuteczną, jeżeli odchylenia w ciągu całego badanego okresu wyniosły nie więcej niż 5%, wówczas tylko wynik a potwierdza jego oczekiwania. Wyniki b i c przy tych samych założeniach nie pozwalają uznać – przy określonym wcześniej poziomie pewności – że kontrole były skuteczne. Na przykład wynik c (13%) oznacza poziom odchyleń prawie 3-krotnie wyższy od akceptowanego (5%).

Analizując wyniki uzyskane w przykładzie, warto zwrócić uwagę na odpowiedź a. Jak widać, błędny byłby wniosek, iż „brak odchyleń w próbce wskazuje, że żadne odchylenia nie występują w całym zbiorze”. Oznaczałby on, że biegły rewident ignoruje fakt istnienia ryzyka próbkowania albo uważa je za nieistotne. Oba te poglądy nie są prawidłowe. Biegły rewident może co najwyżej stwierdzić, że ma 95% pewności, iż prawdziwy wskaźnik odchyleń w zbiorze nie jest wyższy niż 5%[4]. Świadczy to jednak o akceptacji 5% ryzyka, że jego ocena jest błędna i w rzeczywistości wskaźnik ten jest wyższy niż 5%.

Jeżeli biegły rewident zdecydował się na zastosowanie metody stałej próbki, to – jak wcześniej wskazano – nie powinien zwiększać jej wielkości w trakcie badania wyrywkowego. Jedyny wybór, jaki mu pozostaje w razie stwierdzenia, że górna granica odchyleń przekracza akceptowany poziom, to uznanie, iż procedura kontrolna:

• nie jest wystarczająco skuteczna, trzeba więc zrezygnować z polegania na niej przy badaniu oraz rozszerzyć zakres testów szczegółowych i analitycznych procedur wiarygodności (jako źródła dowodów badania),
• działa, ale z mniejszą skutecznością niż wcześniej oczekiwał, lub
• działa, ale jest tego mniej pewny.

Przyjęcie dwóch ostatnich opcji wymaga wcześniejszego rozważenia, czy możliwe jest choćby częściowe poleganie na procedurze kontrolnej. Uwzględnienia wymagają przy tym również jakościowe aspekty stwierdzonych odchyleń. W przypadku pozytywnej odpowiedzi trzeba ustalić, czy możliwe będzie zebranie wystarczających i odpowiednich dowodów badania po uzupełnieniu badań kontroli innymi procedurami.

Próbkowanie według zmiennych – metoda jednostek pieniężnych (MUS)

W centrum zainteresowania biegłego rewidenta stosującego metodę MUS (Monetary Unit Sampling) jest – jak wspomniano – określenie wartości pieniężnej, w jakiej dana pozycja byłaby ujęta, gdyby do jej wyceny zastosowano prawidłowe zasady rachunkowości. Metoda ta jest więc szczególnie przydatna do przeprowadzania testów szczegółowych. Badany zbiór postrzega się jako zbiór jednostek pieniężnych (takich jak pojedyncza złotówka czy euro) składających się na dane saldo czy grupę transakcji.

Przy próbkowaniu według atrybutów wybiera się i bada tylko jednostki rzeczowe[5] (np. polecenia przelewu, którym powinny towarzyszyć dowody autoryzacji płatności). Wartość, na jaką opiewa dokument księgowy, nie ma wpływu na prawdopodobieństwo trafienia do próbki. Dzieje się tak dlatego, że stanowiąca przedmiot badania procedura kontrolna powinna być stosowana do każdego dokumentu objętego zbiorem, bez względu na wartość, jaką reprezentuje[6].

Stosowanie metody MUS, mimo tej samej podstawy teoretycznej, następuje w inny sposób. Prawdopodobieństwo wyboru zapisu księgowego lub dokumentu (elementu rzeczowego) jest w niej proporcjonalne do wartości (liczby jednostek pieniężnych), na jakie ten zapis lub dokument opiewa[7]. Najpierw wybiera się jednostki pieniężne bez uwzględniania ich postaci rzeczowej (np. złote objęte zapisami w księgach rachunkowych), a dopiero w kolejnym kroku bada się te pozycje, w skład których wchodzą wcześniej wybrane złote. Stanowią więc one „sieć”, dzięki której większą szansę „złapania się” mają zapisy czy dokumenty opiewające na duże kwoty.

Poniżej omówiono i pokazano sposób ustalania wielkości próbki i przedziału losowania (próbkowania).

Wyjaśnienie symboli użytych we wzorach poniżej:

n – wielkość próbki,

p – górna granica odchyleń (precyzja) jako wskaźnik ( )

Wtz – dopuszczalna granica zniekształceń w jednostkach pieniężnych (precyzja jako wartość równa liczbie jednostek o wartości 1 zł, które mogą być błędne),

Wk – wartość księgowa zbioru w jednostkach pieniężnych (liczba wszystkich jednostek o wartości 1 zł w badanym zbiorze),

Wu – współczynnik ufności,

Pl – przedział losowania (próbkowania),

Z – wskaźnik zniekształcenia badanej pozycji wyrażony liczbą bezwzględną lub procentem,

Zbr – wartość zniekształcenia w jednostkach pieniężnych według biegłego rewidenta.

Podstawą wyliczenia wielkości próbki przy metodzie MUS jest wzór stosowany w przypadku próbkowania według atrybutów, tzn.:

Do tego wzoru podstawia się jednak inny wzór na precyzję jako wskaźnik, a mianowicie:

Po podstawieniu otrzymuje się pierwszy wzór na wielkość próbki w razie stosowania metody MUS:

Kolejnym parametrem, który wpływa na wielkość i wybór jednostek do próbki, jest przedział losowania. Można go obliczyć, stosując dwa równorzędne wzory. Umożliwia to ustalenie wielkości próbki za pomocą kolejnego wzoru:

Oba wzory dają takie same wyniki w razie stosowania metody MUS. Jak wspomniano, do wyboru współczynnika ufności korzysta się z tych samych tablic co przy próbkowaniu według atrybutów. Ustalenie wielkości próbki z punktu widzenia liczby zawartych w niej jednostek pieniężnych nie wystarcza. Konieczny jest także wybór tych jednostek i ustalenie zapisów czy dokumentów, z których mają pochodzić. Najczęściej w praktyce stosuje się losowanie techniką PPW (prawdopodobieństwa proporcjonalnych wielkości)[8].

Rezultaty badania wybranych pozycji metodą wyrywkową uogólnia się na cały zbiór. Przy stosowaniu metod statystycznych uwzględnienia wymagają zasady rachunku prawdopodobieństwa[9]. Może to nastąpić w różny sposób. Jedną z częściej stosowanych metod jest uwzględnienie wskaźnika względnego procentowego[10] zniekształcenia badanej pozycji. Do jego wyliczenia stosuje się wzór:

Oto przykład ilustrujący możliwy sposób uogólniania wyników badania próbki. Przy jego analizie warto zwrócić uwagę, że:

• wskaźniki we wzorze muszą być ustawione w kolejności od największego do najmniejszego względnego zniekształcenia (Z),
• wartości bezwzględne nie wpływają na kolejność ustawienia wskaźników[11] oraz
• szacowana górna granica zniekształceń zawiera już w sobie wielkość ekstrapolowanych nieprawidłowości wykrytych w próbce, nie można zatem dodawać do siebie tych dwóch zmiennych.

Biegły rewident poddał badaniu wyrywkowemu metodą MUS wykazany w bilansie stan (saldo) towarów o wartości 5 200 000 zł. Badane stwierdzenie to wycena towarów (W – możliwość zawyżenia salda).

Dopuszczalny poziom zniekształceń – 300 000 zł.

Współczynnik ufności wynosi 3,0, bo biegły rewident chciał mieć 95% pewności wyników (ryzyko 5%) i nie spodziewał się żadnych zniekształceń w próbce.

Wielkość próbki wyliczona za pomocą jednego z podanych wzorów – 52 jednostki pieniężne. Przedział losowania (Pl) wynosi 100 000 jednostek pieniężnych (5 200 000 zł/52).

W wyniku porównania wartości księgowych towarów (wybranych drogą losowania przy zastosowaniu techniki PPW) z ich cenami zakupu i po upewnieniu się, że nie są one wyższe od cen sprzedaży netto, stwierdzono dwa zniekształcenia (zawyżenia) reprezentowane przez następujące wskaźniki:

Z₁ = 0,4,

Z₂ = 0,2.

Łączna wielkość ekstrapolowanych zniekształceń bez uwzględnienia ryzyka próbkowania wynosi:

Zniekształcenia	Wskaźnik zniekształcenia (Z)	Przedział próbkowania (w zł)	Ekstrapolowane zniekształcenia (w zł)
	A	B	A × B
1	0,4	100 000	40 000
2	0,2	100 000	20 000
Razem			60 000

Górną (maksymalną) granicą zniekształceń, uwzględniającą ryzyko próbkowania, wyliczono zgodnie ze wzorem:

Max. = Pl × Wu0 + Pl × (Wu1 – Wu0) × Z1 + Pl × (Wu2 – Wu1) × Z2 + …[13],

gdzie:

Pl – przedział losowania (próbkowania),

Z1, Z2, … – wskaźniki względnego zniekształcenia,

Wu0, Wu1, Wu2, … – współczynniki ufności, przy założeniu że (odpowiednio) w próbce nie będzie (będzie 0) zniekształceń, będzie 1 zniekształcenie, będą 2 zniekształcenia itd.

Podstawiając dane do wzoru, uzyskuje się szacunek górnej (maksymalnej) wartości pieniężnej zniekształceń w badanym zbiorze, uwzględniający ryzyko próbkowania w wysokości 5%.

Granica ta wynosi[13]:

Max. = 100 000 × 3,0 + 100 000 × (4,75 – 3,0) × 0,4 + 100 000 × (6,3 – 4,75) × 0,2 = 401 000 zł.

Na podstawie wyników badania próbki biegły rewident ma 95% pewności, że maksymalna wielkość „zawyżeń” wartości pieniężnych, jakie mogą się kryć w badanym zbiorze, nie jest wyższa niż 401 000 zł. Przekracza to jednak znacznie akceptowany poziom (300 000 zł).

Występuje niedopuszczalnie duże prawdopodobieństwo istnienia w saldzie towarów niewykrytych zniekształceń, które łącznie wpływają negatywnie na całe sprawozdanie finansowe. W opisanej sytuacji biegły rewident powinien przeprowadzić analizę jakościową stwierdzonych w próbce dwóch zniekształceń, zwrócić się do kierownictwa jednostki o ich skorygowanie oraz powtórne przeprowadzenie analizy prawidłowości wyceny zbioru towarów[14].

Gdyby w próbce nie stwierdzono żadnych zniekształceń, i tak trzeba by wyliczyć precyzję podstawową (przedział próbkowania × współczynnik ufności). Różnica między wielkością ekstrapolowanych zniekształceń (0 zł) a precyzją podstawową (300 000 zł) stanowiłaby wystarczający margines (rezerwę) na błąd próbkowania.

Rozpatrując przykład, szybko można stwierdzić, że metoda MUS jest bardzo wrażliwa na zniekształcenia. Daje ona ostrożne wyniki i górna granica zniekształceń często przekracza akceptowany poziom. Dzieje się tak zwłaszcza wtedy, gdy biegły rewident stwierdzi w próbce więcej zniekształceń niż zakładał, ustalając współczynnik ufności i wielkość próbki[15]. Uzasadnia to stosowanie metody MUS do badania zbiorów, w których oczekiwana liczba błędów jest niska, albo od razu przyjęcie założenia, że zostaną stwierdzone pewne nieprawidłowości[16].

Metoda MUS nie jest szczególnie przydatna w przypadku istnienia sald zerowych, pozycji o przeciwnym znaku (np. „kredytowe zapasy”) czy zaniżeń wartości. Konta o saldzie zerowym lub przeciwnym do „normalnego” powinny więc być usunięte ze zbioru przed próbkowaniem. Nie jest to możliwe w odniesieniu do zaniżeń, bo zwykle nie są one znane przed ich ujawnieniem. W praktyce uznaje się, że zaniżenia, które nie są znaczące pod względem jakościowym lub wartościowym (w wielkości bezwzględnej lub w procencie do prawidłowej wielkości), mogą być łączone przy ekstrapolacji z zawyżeniami. Można również przeprowadzić ekstrapolację i ocenę wyników badania oddzielnie dla zaniżeń i zawyżeń. Trzeba jednak zawsze pamiętać, że ujawnienie znaczących zaniżeń może wskazywać na niewłaściwy wybór metody próbkowania, co uzasadnia zmianę sposobu badania danego zbioru.

Stosowanie metody MUS do dużego zbioru bez narzędzi informatycznych jest uciążliwe. Na rynku jest jednak coraz więcej programów wspomagających pracę biegłego rewidenta. Na następnej stronie zamieszczono zrzut ekranu, na którym widać przykładowe dane umożliwiające oszacowanie wyników badania próbki metodami statystycznymi.

Niestatystyczne metody próbkowania

Nie istnieją powszechnie akceptowane wzorce i reguły stosowania niestatystycznych metod próbkowania. Cechą wielu z nich jest to, że spełniają tylko jeden z dwóch warunków właściwych metodom statystycznym. Liczba ich możliwych wariantów jest nieograniczona. Metody niestatystyczne są zwykle bardzo uproszczone w stosunku do statystycznych. Jedną z takich metod, stosowaną przy badaniach kontroli, przedstawiono w Przewodniku IFAC[17]. Obrazuje ją tabela.

Metoda ta, jak widać, pozwala w prosty sposób ustalić standardową wielkość próbki oraz ocenić poziom ryzyka kontroli na podstawie liczby odchyleń ujawnionych w próbce. Przy jej stosowaniu próbka nie może być większa niż 60 poz., a akceptowana liczba odchyleń nie może być większa niż 2. Pomimo podbudowy statystycznej nie jest ona tego typu metodą. W Przewodniku IFAC ani nie wymaga się losowego wyboru jednostek do próbki, ani nie podaje się współczynników ufności uwzględniających odchylenia w próbce, a formułowane wnioski (np. ryzyko umiarkowane) nie mają charakteru liczbowego i pomijają rachunek prawdopodobieństwa.

Przy przeprowadzaniu testów szczegółowych często stosuje się metody niestatystyczne oparte na jednym ze zmodyfikowanych wzorów wykorzystywanych przy metodzie MUS oraz trzech standardowych współczynnikach ufności[18]. Oto wzór:

gdzie:

SZ – wartość spodziewanych zniekształceń pieniężnych w zbiorze,

Wr – współczynnik rozszerzający próbkę,

pozostałe oznaczenia – jw.

Stosowane we wzorze współczynniki ufności są wybierane spośród trzech zawartych w tabeli.

Jeżeli biegły rewident spodziewa się zniekształceń w zbiorze, przed badaniem powinien oszacować ich wielkość (SZ) oraz zastosować jeden z poniższych współczynników rozszerzających próbkę (Wr):

Wybór Wr zależy od akceptowanego poziomu ryzyka nieprawidłowej akceptacji (tzn. ryzyka próbkowania). Nie bierze się przy tym pod uwagę wartości SZ. W razie stosowania tej metody zaleca się, aby wszystkie pozycje obarczone dużym ryzykiem lub większe niż tolerowana wielkość zniekształceń zostały wyłączone ze zbioru i objęte badaniem pełnym. Sposób stosowania tej metody ilustruje przykład.

Podsumowanie

Skuteczność badania nie zależy od tego, czy biegły rewident stosuje statystyczne bądź niestatystyczne metody wyboru pozycji do badania. Nie zawsze też jest możliwe w praktyce zastosowanie różnych metod. Jednak tam, gdzie to możliwe, przewaga jakościowa metod statystycznych nad niestatystycznymi jest widoczna. Ich zastosowanie powoduje zastąpienie badań opartych głównie na osądzie zawodowym procedurami opartymi na podstawach naukowych.

Wyciągnięte na podstawie tych badań wnioski mają charakter obiektywny i mierzalny. W przypadku badania wyrywkowego metodami statystycznymi nie ma problemu zbyt małej lub zbyt dużej próbki. Biegły rewident może ,,szyć na miarę’’ i precyzyjnie dostosować wielkość próbki do swoich potrzeb oraz zmierzyć wielkość rezerwy na ryzyko próbkowania. Biegłemu prawidłowo stosującemu metody statystyczne trudno zarzucić stronniczość, subiektywizm czy brak uzasadnionej podstawy do formułowania takich lub innych ocen nt. badanego zbioru.

Osąd zawodowy jest potrzebny przy każdym badaniu, ale jego rola w razie stosowania niestatystycznych metod próbkowania znacznie rośnie. Główne ryzyko polega na kierowaniu się osądem zawodowym w sposób całkowicie dowolny i w danych warunkach nieracjonalny. Im bardziej więc biegły rewident oddali się od podstawowych zasad i procedur obowiązujących przy każdym badaniu wyrywkowym, tym większe ryzyko, że osąd zawodowy nie jest poprawny, oraz wyciągnięcia nieprawidłowych wniosków o zbadanym zbiorze. Aby ograniczyć tego rodzaju ryzyko, warto zapoznać się ze wskazówkami dotyczącymi stosowania zarówno statystycznych, jak i niestatystycznych metod próbkowania. Daje to dużo lepszą podbudowę decyzji podejmowanych zarówno przy planowaniu całego procesu badania, jego realizacji, jak i formułowania wniosków na podstawie rezultatów badania próbki.

Mam nadzieję, że przedstawione w opracowaniu rozważania i ilustrujące je przykłady przekonują, że wybór pozycji do badania wyrywkowego, dokonany przy uwzględnieniu dorobku statystyki i rachunku prawdopodobieństwa, daje ogromne korzyści, z uwagi na stopień pewności, a tym samym użyteczność i mierzalność formułowanych wniosków. Ułatwia to również ew. komunikację z właścicielami, kierownictwem lub organami nadzorującymi działalność badanej jednostki oraz stronami trzecimi. Powinno także ułatwić udokumentowanie wykonanej pracy i wyprowadzonych na tej podstawie wniosków.